经典力学从矢量力学到分析力学

牛顿运动定律体系是以力、加速度、动量这些矢量为基本量来说明力学系统的运动的，所以通常称之为矢量力学。虽在原则上可以求解一切力学问题，但对多质点、多约束的情形，就会在约束力的表述和求解方程的数学手段上出现困难，实践中大量存在的复杂的力学问题要求牛顿力学向普遍化、实用化、数学化发展。

牛顿之后，从17世纪后期到19世纪，一批杰出的物理学家和数学家做了更为深入的研究，拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标表述一个力学体系，用两个标量函数Lagrange、函数L和Hamilton函数H取代了力、动量等矢量函数，对系统作整体的研究，提出了变分原理这一新的基本原理，并在此基础上建立了分析力学的理论体系。分析力学经由拉格朗日、哈密顿、雅克比、泊松等开创的原始性工作以及后来众多学者的发展，现已经发展成四大理论体系：拉格朗日体系、哈密顿体系、哈密顿一雅克比体系、伯克霍夫 (Bikrhoff) 体系。

分析力学不仅仅建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法，其意义在于建立了比牛顿定律应用更广泛、数学更简洁、物理意义更深刻的力学基础，而这些是通往新物理的桥梁。

分析力学的意义之二：数学更简洁优美，处理多质点约束系统。

牛顿的模式对研究受约束系统的力学是不方便的。牛顿模式把影响物体运动的原因统统归结为力，而实际上大量的运动是受约束运动的，原则上说，约束对运动的作用虽然可以归结为力，但这些力就像未知的运动一样，是有待确定的。因此，如果局限在牛顿的力学模式中，寻求受约束系统的运动就产生了困难。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数随之降低，更易于求解。

拉格朗日的巴黎同事与知己、成功地把分析力学用之于天体力学和光学的拉普拉斯在《宇宙系浅说》中就写道：“当一个人在分析运算中时，他就会被这一方法的普适性和难以估量的优越性所陶醉，这种优越性体现在它能把力学推理转化为几何学往往达不到的一些结果”。爱尔兰分析学家哈密尔顿 (Hamiiton, W. R1505、1565) 在《动力学之普遍方法》中高度评价了拉格朗日方法：“拉格朗日在（分析）研究的严格演绎上，也许比任何一位分析学家做的都要多，他证明了体系的各种运动结果都可用同一个公式来推得，这真是一项伟大的工作，如此漂亮的方法与如此美妙的结果，简直是数学上的诗篇！”

分析力学的意义之三：物理更深刻，广义坐标、共轭变量。

牛顿力学着眼于力，力极其明显地呈现在运动方程式中，一般是简单质点的受力分析；而分析力学则着眼于能，多质点约束系统的整体能量分析。牛顿动力学借助于图形，运用形象化的思维方法分析物体的运动，更多地通过抽象思维对力学问题作更为一般的研究。拉格朗日用s 个独立变量来描写力学体系的运动，得到了力学体系在完全一般性广义坐标描述下，具有不变形式的动力学方程组，即拉格朗日方程，并突出了能量函数的意义。这里的一般广义坐标，进而定义广义动量、叫广义速度、广义力，使得分析力学的方法适应性非常广泛和灵活，能量函数也可系统做整体的刻画描述，大大简化了问题。

对于保守力系的拉格朗日方程，拉格朗日函数等于力学体系动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态和相互作用等性质。拉格朗日方程非常简洁漂亮，如诗一般。拉格朗日方程是二阶常微分方程组，如果我们把L 中的广义速度等换成广义动量，就可以使方程组降阶通过变换，可以得到哈密顿正则方程。

值得一提的是，在理论物理学中，以共轭变量作为独立变量比用广义坐标、广义坐标的一阶导广义速度作独立变量要广泛和方便得多，广义动量（动量或动量矩）在物理学中比广义速度要重要得多，这些在统计物理及量子物理学常常用到。由经典物理学过渡到近代物理学，正则方程常被认为是最方便的形式。我们通常把广义坐标和广义动量叫做正则变量，并用它们代表由广义坐标和广义动量所组成的2s 维相空间中的一个相点。

这里其实蕴含了量子的秘密，广义坐标的一阶导广义速度对于不可微的路径不存在，这就是量子的本质根源，这也造成了所谓的广义动量的这种奇怪定义。可以畅想从新的分析工具，不可微分析力学的原理，直接导出量子力学。

文章来源：《工程力学》 网址: http://www.gclxzz.cn/zonghexinwen/2020/1011/352.html